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数学の哲学は、数学の概念と方法についての哲学的な研究です。数、幾何学的なオブジェクト、およびその他の数学的概念の性質に関係し、それは彼らの認識の起源と現実への適用に関係します。数学的推論の方法の検証にも取り組んでいます。特に、数学的無限大に関連する論理的問題を扱う。
科学の中でも、数学は哲学と独特の関係をもっている。古来、哲学者たちは、その概念の明確さと結論の確実性から、論理的完成のモデルとして数学を羨望し、それゆえ、数学の本質を説明するために多くの努力を払ってきた。
このスタディガイドでは、数学の哲学における主要な問題や、これらの問題に対する歴史的に重要な見解について紹介する資料を推薦します。これらの問題について考えるには、数学にある程度精通していることが前提条件となる。リチャード・クーラントとハーバート・ロビンスによる『数学とは何か』は、現代数学のテーマと方法について見事に解説している。この本は素人向けだが、数学のエッセンスは一切省かれておらず、決して簡単な本ではないが、読み応えがある。
ほとんどの哲学者は、より一般的なトピックに関する著作の中で、数学についての見解を示しています。ロバート・ボーム著『哲学と数学』には、プラトンからミルまで、西洋の主要な哲学者たちの中から数学に関するものが選ばれている。各哲学者の数学に対する見解の背景を示すのに十分な資料が含まれており、ボームの紹介エッセイでは、各思想家が受けた哲学的な影響を辿っています。
最も影響力があったのはプラトンとカントの見解で、バウムはそれぞれについてセクションを設けている。客観主義者の方は、バウムのアリストテレスの項を、トーマス・ヒースの著書『アリストテレスにおける数学』で補うとよいかもしれません。バウムの本には現代的なエッセイも含まれており、中でもマックス・ブラックの「集合の淘汰性」は、集合論者の認識論に対する批判であり、読む価値がある。
ニュートンの力学理論とそれを支える積分・微分積分の発明は、歴史上最も偉大な業績の一つである。しかし、極限という考え方は論理的に微妙であり（この微妙さがゼノンのアキレスのパラドックスを不可解にしている）、ニュートンは極限を厳格に扱うことができなかった。ニュートンは極限を厳密に扱うことができなかった。コーシー、ヴァイエルシュトラスら19世紀の数学者たちは、厳密な極限理論を構築し、ニュートンの理論の揺るぎない基礎となり、現代の数学解析の礎となった。この認識論的なサクセスストーリーは、カール・ボイヤー著『微分積分の歴史とその概念的発展』によく表れている。
現代の数学解析の中心的な特徴であるもう一つの論理的宝石は、数学者ジャック・ハダマードによって導入されたwell-posed problemという考え方である。新しい数学的問題が提案されたとき、数学者の最初の仕事は、その問題に解があること、解が一つしかないこと、解がデータに合理的に依存すること（例えば、電圧と電球の照度の関係式がある場合、電圧をわずかに上げると照度がわずかに上がるはず）を確立することである。
このような性質を持つ問題は、"well-posed "と呼ばれます。数学者がある数学的問題がwell-posedであることを証明するとき、彼らはその問題に答えようとする前に、その問題が問うべき妥当な問題であることを保証していることになる。他の多くの分野の研究者も、このような注意深い認識論的習慣を取り入れることをお勧めします。しかし、残念ながら、このテーマに対する哲学的な入門書は存在しない。
現在の一般的な見解は、数学は一連の論理的または認識論的な危機を通過し、深刻なダメージを受けたというものである。これらの「危機」の歴史（例えば、非ユークリッド幾何学の発明や集合論的パラドックスの発見など）、および現代数学哲学における問題の徹底的な調査については、モリス・クライン『数学』を参照のこと。The Loss of Certainty(確実性の喪失)」がある。クラインは数学者であったが、本書は実務家の間で遭遇するような態度を正確に反映しており、適切な数学を用いてよく書かれている。
あるテーマの基礎に欠陥があるかどうかを判断するためには、まず、何が適切な基礎を構成するかという、より基本的な認識論的問いに答えなければならない。すべての知識は知覚に基づき、概念的に把握され、組織化されなければならないという目的論者の立場は、数学哲学の歴史的発展において、ほとんど何の役割も果たしてこなかった。目的論的アプローチの第一の課題は、数学を客観的に基礎づけることである。重要な二次的課題は、他の認識論的前提が、この分野を特徴づけてきた危機感や疑念をどのようにもたらしたかを説明することです。
ステファン・コーナーの『数学哲学入門』は、クラインに比べると歴史的・数学的な詳細さは劣るが、より哲学的に洗練された内容となっている。コーナーは、形式主義者、論理主義者、直観主義者という数学哲学に関する現代の3つの主要な思想のそれぞれについて、説明と批判の2章ずつを捧げている。コーナーの説明は明快で簡潔、かつ偏りがない。
バートランド・ラッセルとゴットローブ・フレーゲを中心人物とする論理主義学派は、"数学を論理に還元する "ことを目的としていた。ラッセルの『数理哲学入門』は、論理主義者のプログラムを非専門的に紹介するものである。論理主義的な論理の考え方は、目的論的な、あるいはより一般的にはアリストテレス的な論理の考え方とは根本的に異なっており、現代の数理哲学のほとんどで前提とされている論理の考え方である。ラッセルの『序説』は、この論理学の概念とその数学への応用について、きわめて明瞭に解説している。数学の基礎に対する客観的なアプローチが挑戦しなければならない前提へのガイドとして貴重である。
ヘンリー・ヴィーチの著作、特に『意図的論理学』は、ラッセルの論理学の概念をアリストテレス的観点から批判している。意識は意図的なものであり、意識とは無関係に存在しアイデンティティを持つ世界について常に考えている、というもの である。
形式主義学派は、数学者デイヴィッド・ヒルベルトによって創設されました。形式主義者は、数学を厳密に形式的な論理体系として表現し、その意味を気にすることなく、そのように研究することを目指す。(これは、数学的概念を論理学の概念で定義することによって、その意味を確立しようとする論理主義者とは対照的である）。彼らの主な動機は、19世紀後半にゲオルク・カントールによって開発された無限集合の数学を正当化することでした。形式主義者たちは、無限集合の数学をそのような体系で表現し、その体系の整合性を有限の手法で確立することを望んだ。これに成功すれば、「無限集合とは何か」という難問に取り組むことなく、無限集合の利用を正当化できると考えたのである。
形式主義的なアプローチは、アーネスト・ネーゲルとジェームズ・ニューマンによる『 ゲーデルの証明』で説明・図解されています。この短編集は、高度な内容を専門家でない人にもわかりやすくした傑作である。本書は形式主義の解説から始まり、クルト・ゲーデルの不完全性定理の証明の非常に読みやすい概要で締めくくられています。この定理は、形式主義者たち自身の言葉で、彼らのプログラムが実行不可能であることを示した。
直観主義者は、数学者L.E.J.Brouwerを指導者とし、数学的無限大に関する保守主義で最もよく知られている。Pという性質を持つ数が存在するかしないか、存在しない場合は偽であることが分かっている結果が導かれる、したがってPという性質を持つ数が存在する。これに対して構成的証明は、このような情報を提供するものであり、直観主義者は数学の定理を構成的に証明することを要求する。
直観主義者の哲学的なルーツはカントにある。しかし、無限に対する彼らの注意は、客観主義者にアピールするものである。排除された中間の法則に関する彼らの立場は、論理学の法則を適用する前に、ある文が意味あるものとして確立されることを要求していると解釈することができ、これは客観主義が確かに支持する要求である。構成的証明に対する彼らの主張は、数の存在とは何を意味するのかを特定するための手段であると考えることができる。
残念ながら、直観主義者は、自分たちの立場の意味と哲学的基礎について、必ずしも明確ではない。ラッセルやナーゲル、ニューマンのような序章はない。ポール・ベナセラフ、ヒラリー・パットナム編『Philosophy of Mathematics, Selected Readings』には、直観主義者であるブローウェル、ヘイティング、ダンメットの作品がいくつか掲載されている。この巻の序章には、直観主義者の原則についての明確な議論も含まれている。
抽象化について正しく理解することは、数学的概念を説明するための前提条件である。数学的概念の歴史的理論は、普遍の歴史的理論の悪い面を体現する傾向があり、プラトン的実在論、カント的観念論、極端な名辞論が支配的である。
アイン・ランドの普遍性の識別と抽象化のプロセスの分析は、数学の哲学に貢献するところが多い。しかし、このテーマに関する目的論的な文献は存在しない。このテーマに対する目的論的アプローチの示唆は、David Rossのエッセイ「The Cognitive Basis of Arithmetic」に示されています。アイン・ランド による様々な数学的トピックに関するコメントは、1990年版の『目的 論的認識論入門』の付録に収録されています。
目的論は、他の哲学の提唱者が想像する以上に、数学と哲学の間に深い関係があることを認識している。アイン・ランドの理論によれば、概念形成の過程では、単位間の量的関係を把握し、その具体的な測定値を省略することが含まれる。そのため、数学は抽象化のプロセスの重要な要素として、人間の知識の中核に位置づけられる。これは、哲学における数学の役割について、ラディカルで新しい見解である。レナード・ペイコフは『客観主義』の中でこう言っている。アイン・ランドの哲学』の中で、レナード・レイコフはこう言っている。
したがって、目的論的な数学哲学が取り組むべき領域は、測定省略理論における測定の意味と構造であり、数学哲学のこのサブフィールドは哲学の数学と呼ばれるかもしれない。目的論者の見解については、ランドの『目的論的認識論入門』、ピーコフの『目的論』を参照されたい。アイン・ランドの哲学』、デイヴィッド・ケリーの「抽象の理論」などを参照。
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